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  3. 设(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=(x一1)，求(1)a、b应满足的关系式；(2)E(X)．

设(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=(x一1)，求(1)a、b应满足的关系式；(2)E(X)．

admin2017-04-11  71
问题 设(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=(x一1)，求(1)a、b应满足的关系式；(2)E(X)．
选项
答案(1)F(+∞)=1，有a+b=1． (2)以φ(x)表示标准正态分布的概率密度，则 E(x)=∫-∞+∞xdF(x)=∫-∞+∞x[aφ(x)+bφ(x一1)]dx． =a∫-∞+∞xφ(x)dx+b∫-∞+∞xφ(x一1)dx． 注意到∫-∞+∞xφ(x)dx=0，从而有 E(x)=b∫-∞+∞xφ(x一1)dx=b∫-∞+∞(x一1+1)φ(x一1)dx =b∫-∞+∞(x一1)φ(x一1)dx+b∫-∞+∞φ(x—1)dx． 令x一1=t，有E(x)=b∫-∞+∞tφ(t)dt+b∫-∞+∞φ(t)dt =b×0+b×1=b．
解析 考查分布函数的性质和计算数学期望的方法．由于X的分布已知，可以利用公式结合分布的性质出E(X)．
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考研数学二

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