设(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=(x一1)，求(1)a、b应满足的关系式；(2)E(X)．

admin2017-04-11 82

问题设

(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=

(x一1)，求(1)a、b应满足的关系式；(2)E(X)．

选项

答案(1)F(+∞)=1，有a+b=1． (2)以φ(x)表示标准正态分布的概率密度，则 E(x)=∫_-∞^+∞xdF(x)=∫_-∞^+∞x[aφ(x)+bφ(x一1)]dx． =a∫_-∞^+∞xφ(x)dx+b∫_-∞^+∞xφ(x一1)dx．注意到∫_-∞^+∞xφ(x)dx=0，从而有 E(x)=b∫_-∞^+∞xφ(x一1)dx=b∫_-∞^+∞(x一1+1)φ(x一1)dx =b∫_-∞^+∞(x一1)φ(x一1)dx+b∫_-∞^+∞φ(x—1)dx．令x一1=t，有E(x)=b∫_-∞^+∞tφ(t)dt+b∫_-∞^+∞φ(t)dt =b×0+b×1=b．

解析考查分布函数的性质和计算数学期望的方法．由于X的分布已知，可以利用公式结合分布的性质出E(X)．

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考研数学二

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