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设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。
设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。
admin
2022-10-13
110
问题
设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γe
x
的一个特解为y=e
2x
+(1+x)e
x
,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。
选项
答案
解法一 由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为 (r－1)(r－2)=0 即r
2
－3r+2=0 于是α=－3，β=2 为确定γ，只需将y
1
=xe
x
代入方程 (x+2)e
x
－3(x+1)e
x
+2xe
x
=γe
x
,解得γ=－1 从而原方程的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+xe
x
解法二 将y=e
2x
+(1+x)e
x
代入原方程得 (4+2α+β)e
2x
+(3+2α+β)e
x
+(1+α+β)xe
x
=γe
x
比较同类项的系数，有 [*] 解方程组得α=－3，β=2，γ=－1 即原方程为y”－3y’+2y=－e
x
,它对应的齐次方程的特征方程为r
2
－3r+2=0,解之得特征根r
1
=1，r
2
=2，故齐次方程的通解为 Y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
由题设特解知，原方程的通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+[e
2x
+(1+x)e
2x
] 即y=C
3
e
x
+C
4
e
2x
+xe
x
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/obC4777K
0
考研数学三
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