2. 考研
  3. 设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。

设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。

admin2022-10-13  99
问题 设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。
选项
答案解法一 由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为 (r－1)(r－2)=0 即r2－3r+2=0 于是α=－3，β=2 为确定γ，只需将y1=xex代入方程 (x+2)ex－3(x+1)ex+2xex=γex,解得γ=－1 从而原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+xex 解法二 将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得 (4+2α+β)e2x+(3+2α+β)ex+(1+α+β)xex=γex 比较同类项的系数，有 [*] 解方程组得α=－3，β=2，γ=－1 即原方程为y”－3y’+2y=－ex,它对应的齐次方程的特征方程为r2－3r+2=0,解之得特征根r1=1，r2=2，故齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e2x 由题设特解知，原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+[e2x+(1+x)e2x] 即y=C3ex+C4e2x+xex
解析
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考研数学三

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