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[2011年] 已知f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf’’xy(x,y)dxdy.[img][/img]
[2011年] 已知f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf’’xy(x,y)dxdy.[img][/img]
admin
2019-07-23
35
问题
[2011年] 已知f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
xyf’’
xy
(x,y)dxdy.[img][/img]
选项
答案
注意到f(x,y)的二阶导数连续,有f’’
xy
(x,y)=f’’
yx
(x,y),故 f’’
xy
(x,y)dy=f’’
yx
(x,y)dy=df’
x
(x,y), f’
x
(x,y)dx=df(x,y), 有I=∫
0
1
xdx∫
0
1
yf’’
xy
(x,y)dy=∫
0
1
xdx∫
0
1
ydf’
x
(x,y) =∫
0
1
[yf’
x
(x,y)|
0
1
—∫
0
1
f’
x
(x,y)dy]xdx =∫
0
1
f’
x
(x,1)xdx—∫
0
1
xdx∫
0
1
f’
x
(x,y)dy =0一∫
0
1
dy∫
0
1
xf’
x
(x,y)dx (因f(x,1)=0,故f’
x
(x,1)=0) =一∫
0
1
dy∫
0
1
xdf(x,y) =一∫
0
1
[xf(x,y)|
0
1
—∫
0
1
f(x,y)dx]dy =∫
0
1
∫
0
1
f(x,y)dxdy=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/buc4777K
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考研数学一
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