设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0f(x)tsin2t/(sint+cost)dt，求f(π/2)。

admin2021-12-14 17

问题设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫₀^f(x)g(t)dt=∫₀^f(x)tsin²t/(sint+cost)dt，求f(π/2)。

选项

答案已知等式两边同时对x求导，得g[f(x)]f’(x)=xsin³x/(sinx+cosx)，又由g[f(x)]=x，可知当x≠0时，有f’(x)=sin³x/(sinx+cosx)，故f(π/2)=f(0)+∫₀^π/2sin³x/(sinx+cosx)dx=∫₀^π/2sin³x/(sinx+cosx)dx，又由于∫₀^π/2sin³x/(sinx+cosx)dx→∫₀^π/2cos³t/(sint+cost)dt=∫₀^π/2cos³x/(sinx+cosx)dx，故f(π/2)=∫₀^π/2sin³x/(sinx+cosx)dx=1/2∫₀^π/2(sin³x+cos³x)/(sinx+cosx)dx=1/2∫₀^π/2(sin²x-sinxcosx+cos²x)dx=1/2∫₀^π/2(1-sinxcosx)dx=1/2(π/2-1/2sin²x∫₀^π/2)=(π-1)/4。

解析

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