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设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且f(x)的反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=∫0f(x)tsin2t/(sint+cost)dt,求f(π/2)。
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且f(x)的反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=∫0f(x)tsin2t/(sint+cost)dt,求f(π/2)。
admin
2021-12-14
30
问题
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且f(x)的反函数为g(x),若∫
0
f(x)
g(t)dt=∫
0
f(x)
tsin
2
t/(sint+cost)dt,求f(π/2)。
选项
答案
已知等式两边同时对x求导,得g[f(x)]f’(x)=xsin
3
x/(sinx+cosx),又由g[f(x)]=x,可知当x≠0时,有f’(x)=sin
3
x/(sinx+cosx),故f(π/2)=f(0)+∫
0
π/2
sin
3
x/(sinx+cosx)dx=∫
0
π/2
sin
3
x/(sinx+cosx)dx,又由于∫
0
π/2
sin
3
x/(sinx+cosx)dx→∫
0
π/2
cos
3
t/(sint+cost)dt=∫
0
π/2
cos
3
x/(sinx+cosx)dx,故f(π/2)=∫
0
π/2
sin
3
x/(sinx+cosx)dx=1/2∫
0
π/2
(sin
3
x+cos
3
x)/(sinx+cosx)dx=1/2∫
0
π/2
(sin
2
x-sinxcosx+cos
2
x)dx=1/2∫
0
π/2
(1-sinxcosx)dx=1/2(π/2-1/2sin
2
x∫
0
π/2
)=(π-1)/4。
解析
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0
考研数学二
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