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设an=∫0π/4tannxdx(n≥2),证明:1/2(n+1)<an<1/2(n-1).
设an=∫0π/4tannxdx(n≥2),证明:1/2(n+1)<an<1/2(n-1).
admin
2022-08-19
6
问题
设a
n
=∫
0
π/4
tan
n
xdx(n≥2),证明:1/2(n+1)<a
n
<1/2(n-1).
选项
答案
a
n
+a
n+2
=∫
0
π/4
(1+tan
2
x)tan
n
xdx=∫
0
π/4
tan
n
xd(tanx)=[1/(n+1)]tan
n+1
x|
0
π/4
=1/(n+1),同理a
n
+a
n-1
=1/(n-1)。因为tan
n
x,tan
n+2
x在[0,π/4]上连续,tan
n
x≥tan
n+1
x,且tan
n
x,tan
n+2
x不恒等,所以∫
0
π/4
tan
n
xdx>∫
0
π/4
tan
n+2
xdx,即a
n
>a
n+2
, 于是1/(n+1)+a
n
+a
n+2
<2a
n
,即a
n
>1/2(n+1),同理可证a
n
<1/2(n-1).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/c3R4777K
0
考研数学三
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