设an=∫0π/4tannxdx(n≥2)，证明：1/2(n+1)＜an＜1/2(n-1).

admin2022-08-19 20

问题设a_n=∫₀^π/4tanⁿxdx(n≥2)，证明：1/2(n+1)＜a_n＜1/2(n-1).

选项

答案a_n+a_n+2=∫₀^π/4(1+tan²x)tanⁿxdx=∫₀^π/4tanⁿxd(tanx)=[1/(n+1)]tanⁿ⁺¹x|₀^π/4=1/(n+1)，同理a_n+a_n-1=1/(n-1)。因为tanⁿx，tanⁿ⁺²x在[0，π/4]上连续，tanⁿx≥tanⁿ⁺¹x，且tanⁿx，tanⁿ⁺²x不恒等，所以∫₀^π/4tanⁿxdx＞∫₀^π/4tanⁿ⁺²xdx，即a_n＞a_n+2，于是1/(n+1)+a_n+a_n+2＜2a_n，即a_n＞1/2(n+1)，同理可证a_n＜1/2(n-1).

解析

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