2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f′(χ)｜＜1，又f(0)＝f(1)，证明：对于χ1，χ2∈[0，1]，有｜f(χ1)－f(χ2)｜＜．

设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f′(χ)｜＜1，又f(0)＝f(1)，证明：对于χ1，χ2∈[0，1]，有｜f(χ1)－f(χ2)｜＜．

admin2017-04-11  57
问题 设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f′(χ)｜＜1，又f(0)＝f(1)，证明：对于χ1，χ2∈[0，1]，有｜f(χ1)－f(χ2)｜＜．
选项
答案联系f(χ1)－f(χ2)与f′(χ)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤χ1≤χ2≤1．分两种情形： 1)若χ2－χ1＜[*]，直接用拉格朗日中值定理得 ｜f(χ1)－f(χ2)｜＝｜f′(ξ)(χ2－χ1)｜＝｜f′(ξ)｜｜χ2－χ1｜＜[*]． 2)若χ2－χ1≥[*]，当0χ1＜χ2＜1时，利用条件f(0)＝f(1)分别在[0，χ1]与[χ2，1]上用拉 格朗日中值定理知存在ξ∈(0，χ1)，η∈(χ2，1)使得 ｜f(χ1)－f(χ2)｜＝｜[f(χ1)－f(0)]－[f(χ2)－f(1)]｜ ≤｜f(χ1)－f(0)｜＋｜f(1)－f(χ2)｜ ＝｜f′(ξ)χ1｜＋｜f′(η)(1－χ2)｜ ＜χ1＋(1－χ2)＝1－(χ2－χ1)≤[*]， ①当χ1＞0且χ2≥[*]时，有 ｜f(χ1)－f(χ2)｜＝｜f(0)－f(χ2)｜＝｜f(1)－f(χ2)｜＝｜f′(η)(1－χ2)｜＜[*]． ②当χ1≤[*]且χ2＝1时，同样有 ｜f(χ1)－f(χ2)｜＝｜f(χ1)－f(1)｜＝｜f(χ1)－f(0)｜＝｜f′(ξ)(χ1－0)｜＜[*]． 因此对于任何χ1，χ2∈[0，1]总有 ｜f(χ)－f(χ)＜[*]．
解析
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考研数学二

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