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设f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f′(χ)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于χ1,χ2∈[0,1],有|f(χ1)-f(χ2)|<.
设f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f′(χ)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于χ1,χ2∈[0,1],有|f(χ1)-f(χ2)|<.
admin
2017-04-11
57
问题
设f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且|f′(χ)|<1,又f(0)=f(1),证明:对于
χ
1
,χ
2
∈[0,1],有|f(χ
1
)-f(χ
2
)|<
.
选项
答案
联系f(χ
1
)-f(χ
2
)与f′(χ)的是拉格朗日中值定理.不妨设0≤χ
1
≤χ
2
≤1.分两种情形: 1)若χ
2
-χ
1
<[*],直接用拉格朗日中值定理得 |f(χ
1
)-f(χ
2
)|=|f′(ξ)(χ
2
-χ
1
)|=|f′(ξ)||χ
2
-χ
1
|<[*]. 2)若χ
2
-χ
1
≥[*],当0χ
1
<χ
2
<1时,利用条件f(0)=f(1)分别在[0,χ
1
]与[χ
2
,1]上用拉 格朗日中值定理知存在ξ∈(0,χ
1
),η∈(χ
2
,1)使得 |f(χ
1
)-f(χ
2
)|=|[f(χ
1
)-f(0)]-[f(χ
2
)-f(1)]| ≤|f(χ
1
)-f(0)|+|f(1)-f(χ
2
)| =|f′(ξ)χ
1
|+|f′(η)(1-χ
2
)| <χ
1
+(1-χ
2
)=1-(χ
2
-χ
1
)≤[*], ①当χ
1
>0且χ
2
≥[*]时,有 |f(χ
1
)-f(χ
2
)|=|f(0)-f(χ
2
)|=|f(1)-f(χ
2
)|=|f′(η)(1-χ
2
)|<[*]. ②当χ
1
≤[*]且χ
2
=1时,同样有 |f(χ
1
)-f(χ
2
)|=|f(χ
1
)-f(1)|=|f(χ
1
)-f(0)|=|f′(ξ)(χ
1
-0)|<[*]. 因此对于任何χ
1
,χ
2
∈[0,1]总有 |f(χ)-f(χ)<[*].
解析
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