设f(x)为连续函数，证明∫0xf(t)(x－t)dt=∫0x(∫0tf(u)du)dt.

admin2022-10-08 42

问题设f(x)为连续函数，证明∫₀^xf(t)(x－t)dt=∫₀^x(∫₀^tf(u)du)dt.

选项

答案利用分部积分法，有 ∫₀^x(∫₀^tf(u)du)dt=t∫₀^tf(u)du|₀^x－∫₀^xtf(t)dt =x∫₀^xf(t)dt－∫₀^xtf(t)dt=∫₀^xf(t)(x－t)dt 即∫₀^xf(t)(x－t)dt=∫₀^x(∫₀^tf(u)du)dt.

解析

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