下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )

admin2019-08-12 26

问题下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )

选项 A、A^一1正定．
B、A没有负的特征值．
C、A的正惯性指数等于n．
D、A合同于单位阵．

答案B

解析 A^一1正定表明存在可逆矩阵C，使C^TA^一1C=I_n两边求逆得到C^一1A(C^T)^一1=C^一1A(C^一1)^T=I_n．即A合同于I_n，A正定，因此不应选A．D是A正定的定义，也不是正确的选择．C表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵．由排除法，故选B．事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数．

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