设矩阵已知A的一个特征值为3．求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

admin2018-08-22 48

问题设矩阵

已知A的一个特征值为3．
求矩阵P，使(AP)^T(AP)为对角矩阵．

选项

答案A为对称矩阵，要使(AP)^T(AP)=p^TA²P为对角矩阵，即将实对称矩阵A²对角化．由上题得A的特征值λ₁=一1，λ_2,3=1，λ₄=3，故A²的特征值μ_1,2,3=1，μ₄=9，且 [*] 方法一 A²的属于特征值μ_1,2,3=1的正交单位化的特征向量为 p₁=[1，0，0，0]^T，p₂=[0，1，0，0]^T，[*] A²的属于特征值μ₄=9的正交单位化的特征向量为[*] [*] 方法二对应于A²的二次型为 [*] 将X=PY代入二次型X^TA²X，得 X^TA²X=(PY)^TA²(PY)=Y^T(AP)^T(AP)Y [*] 即矩阵P，使得 [*]

解析

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