2. 考研
  3. 设矩阵已知A的一个特征值为3． 求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

设矩阵已知A的一个特征值为3． 求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

admin2018-08-22  59
问题 设矩阵已知A的一个特征值为3．
求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．
选项
答案A为对称矩阵，要使(AP)T(AP)=pTA2P为对角矩阵，即将实对称矩阵A2对角化． 由上题得A的特征值λ1=一1，λ2,3=1，λ4=3，故A2的特征值μ1,2,3=1，μ4=9，且 [*] 方法一 A2的属于特征值μ1,2,3=1的正交单位化的特征向量为 p1=[1，0，0，0]T，p2=[0，1，0，0]T，[*] A2的属于特征值μ4=9的正交单位化的特征向量为[*] [*] 方法二 对应于A2的二次型为 [*] 将X=PY代入二次型XTA2X，得 XTA2X=(PY)TA2(PY)=YT(AP)T(AP)Y [*] 即矩阵P，使得 [*]
解析
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考研数学二

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