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f(χ)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξ∈(-1,1),使得f″′(ξ)=3.
f(χ)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξ∈(-1,1),使得f″′(ξ)=3.
admin
2021-11-09
53
问题
f(χ)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f′(0)=0.证明:存在ξ∈(-1,1),使得f″′(ξ)=3.
选项
答案
由泰勒公式得 [*] 两式相减得f″′(ξ)+f″′(ξ)=6. 因为f(χ)在[-1,1]上三阶连续可导,所以f″′(χ)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,由连续函数最值定理,f″′(χ)在[ξ
1
,ξ
2
]上取到最小值m和最大值M,故2m≤f″′(ξ
1
)+f″′(ξ
2
)≤2M,即m≤3≤M. 由闭区间上连续函数介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](-1,1),使得f″′(ξ)=3.
解析
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考研数学二
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