f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．

admin2021-11-09 40

问题 f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f′(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．

选项

答案由泰勒公式得 [*] 两式相减得f″′(ξ)＋f″′(ξ)＝6．因为f(χ)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f″′(χ)在[ξ₁，ξ₂]上连续，由连续函数最值定理，f″′(χ)在[ξ₁，ξ₂]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f″′(ξ₁)＋f″′(ξ₂)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ₁，ξ₂][*](－1，1)，使得f″′(ξ)＝3．

解析

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考研数学二

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