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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 证明二次型厂对应的矩阵为2ααT+ββT；
[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 证明二次型厂对应的矩阵为2ααT+ββT；
admin
2019-05-16
58
问题
[2013年] 设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
证明二次型厂对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
；
选项
答案
令X=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则 a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
=[x
1
，x
2
，x
3
][*] b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
=[x
1
，x
2
，x
3
][*] 故2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
) =2[x
1
，x
2
，x
3
] [*] =2(X
T
α)(α
T
X)=2X
T
(αα
T
)X． 同法，可求得 (b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
=X
T
(ββ
T
)X， 故f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
(2αα
T
+ββ
T
)X．又因 (2αα
T
+ββ
T
)
T
=2(αα
T
)
T
+(ββ
T
)
T
=2αα
T
+ββ
T
， 即2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵，所以二次型厂对应的矩阵为A=2αα
T
+ββ
T
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/c6c4777K
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考研数学一
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