2. 考研
  3. [2003年] 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

[2003年] 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

admin2021-01-25  65
问题 [2003年]  设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．
选项
答案证一 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是 m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M， 故 [*] 由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使 [*] 因为f(c)=1=f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在ξ∈(c，3)[*](0，3)，使f’(ξ)=0． 证二 设在[0，2]上总有f(x)>1，令x=0，1，2，则f(0)+f(1)+f’(2)>1+1+1=3与已知条件f(0)+f(1)+f(2)=3相矛盾．故不可能在[0，2]上对所有x都有f(x)>1，即至 少存在一点x0∈[0，2]，使f(x0)≤1． 同样可证在[0，2]上不可能对所有x，都有f(x)<1，即至少存在一点x1∈[0，2]，使f(x1≥1．由于f(x)在[0，2]上连续，故必存在一点c∈[0，2]，使f(c)=1．于是有f(c)=f(3)=1．又f(x)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，由罗尔定理知，必存在一点ξ∈(c，3)[*](0，3)，使f’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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