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(00年)设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫0πf(χ)dχ=0,∫0πf(χ)cosχdχ=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
(00年)设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫0πf(χ)dχ=0,∫0πf(χ)cosχdχ=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2021-01-25
131
问题
(00年)设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(χ)dχ=0,∫
0
π
f(χ)cosχdχ=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令F(χ)=∫f(t)dt,0≤χ≤π 则有F(0)=0,F(π)=0,又因为 0=∫
0
π
f(χ)cosχdχ=∫
0
π
cosχdF(χ)=F(χ)cosχ|
0
π
+∫
0
π
F(χ)sinχdχ=∫
0
π
F(χ)sinχdχ 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内或F(χ)sinχ恒为正,或F(χ)sinχ恒为负,均与∫
0
π
F(χ)sinχdχ=0矛盾.但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故F(ξ)=0. 由以上证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(χ)在区间[0,ξ,[ξ,π]上分别用罗尔中值定理知至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F′(ξ
1
)=F′(ξ
2
)=0, 即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/z8x4777K
0
考研数学三
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