设有Am×n ，Bm×n ，已知En一AB可逆，证明En一BA可逆，且(En一BA)一1=En+B(En一AB)一1A．

admin2016-12-16 45

问题设有A_m×n ，B_m×n ，已知E_n一AB可逆，证明E_n一BA可逆，且(E_n一BA)^一1=E_n+B(E_n一AB)^一1A．

选项

答案(E_n一BA)[E_n+B(E_n一AB)^一1A] =E_n一BA+B(E_n一AB)^一1A一BAB(E_n一AB) ^一1A =E_n一BA+(B—BAB) (E_n一AB)^一1A =E_n一BA+B(E_n一AB) (E_n一AB) ^一1A =E_n一BA+BA=E_n．故E_n一BA可逆，且(E_n一BA)^一1=E+B(E_n一AB) ^一1A．

解析只需证 [E_n一BA][E_n+B(E_n一BA)^一1A]=E．

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考研数学三

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