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已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf"xy(x,y)dxdy.
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyf"xy(x,y)dxdy.
admin
2019-04-17
65
问题
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
f(x,y)dxdy=a,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
xyf"xy(x,y)dxdy.
选项
答案
因为f(1,y)=0,f(x,1)=0,所以f
y
’
(1,y)=0,f
x
’
(x,1)=0. 从而 I=∫
0
1
xdx∫
0
1
yf(x,y)dy=∫
0
1
x[yf
x
’
(x,y)∫
0
1
一f
x
’
(x,y)dy]dx =一∫
0
1
dy∫
0
1
xf
x
’
(x,y)dx=一∫
0
1
[xf(x,y)|
x=0
x=1
一∫
0
1
f(x,y)dx]dy =∫
0
1
dy∫
0
1
f(x,y)dx=a. a=∫
0
1
dy∫
0
1
f(x,y)dx =∫
0
1
[xf(x,y)|
x=0
x=1
一∫
0
1
xf
x
’
(x,y)dx]dy =一∫
0
1
dx∫
0
1
xf
x
’
(x,y)dy =一∫
0
1
[xf
x
’
(x,y)=|
y=0
y=1
一∫
0
1
xyf
xy
"
(x,y)dy]dx =[*]xy f
xy
"
(x,y)dσ 这里用到了条件f(1,y)=0,f(x,1)=0,并由此有f
y
’
(1,y)=0,f
x
’
(x,1)=0.
解析
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