2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy．

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy．

admin2019-04-17  100
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyf"xy(x，y)dxdy．
选项
答案因为f(1，y)=0，f(x，1)=0，所以fy’(1，y)=0，fx’(x，1)=0． 从而 I=∫01xdx∫01yf(x，y)dy=∫01x[yfx’(x，y)∫01一fx’(x，y)dy]dx =一∫01dy∫01xfx’(x，y)dx=一∫01[xf(x，y)|x=0x=1一∫01f(x，y)dx]dy =∫01dy∫01f(x，y)dx=a． a=∫01dy∫01f(x，y)dx =∫01[xf(x，y)|x=0x=1一∫01xfx’(x，y)dx]dy =一∫01dx∫01xfx’(x，y)dy =一∫01[xfx’(x，y)=|y=0y=1一∫01xyfxy"(x，y)dy]dx =[*]xy fxy"(x，y)dσ 这里用到了条件f(1，y)=0，f(x，1)=0，并由此有fy’(1，y)=0，fx’(x，1)=0．
解析
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考研数学二

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