已知常数k≥ln2—1，证明：(x一1)(x一ln2x+2klnx一1)≥0．

admin2019-03-21 150

问题已知常数k≥ln2—1，证明：(x一1)(x一ln²x+2klnx一1)≥0．

选项

答案当x=1时，显然所证成立．当x≠1时，令f(x)=x一ln²x+2klnx一1(x＞0)，求导得 [*] 令g(x)=x一2lnx+2k，求导得 [*] 令g’(x)=0，得驻点x=2． ①当0＜x＜1时，g’(x)＜0，因此g(x)在(0，1)上单调递减，则 g(x)＞g(1)=1+2k≥1+2(ln2—1)=2ln2—1＞0．因此f’(x)＞0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)＜f(1)=0．在(0，1)上，由x一1＜0，f(x)＜0，可得 (x一1)(x一ln²x+2klnx一1)＞0． ②当x＞1时，可知当1＜x＜2时，g’(x)＜0；当x＞2时，g’(x)＞0．因此g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，则 g(x)＞g(2)=2—2ln2+2k≥2—2ln2+2(ln2—1)=0．因此f’(x)＞0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，故f(x)＞f(1)=0．在(1，+∞)上，由x一1＞0，f(x)＞0，可得 (x一1)(x一ln²x+2klnx一1)＞0．综上所述：当x＞0时，不等式(x一1)(x一ln²x+2klnx一1)≥0恒成立．

解析

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考研数学二

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