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已知常数k≥ln2—1,证明:(x一1)(x一ln2x+2klnx一1)≥0.
已知常数k≥ln2—1,证明:(x一1)(x一ln2x+2klnx一1)≥0.
admin
2019-03-21
92
问题
已知常数k≥ln2—1,证明:(x一1)(x一ln
2
x+2klnx一1)≥0.
选项
答案
当x=1时,显然所证成立. 当x≠1时,令f(x)=x一ln
2
x+2klnx一1(x>0),求导得 [*] 令g(x)=x一2lnx+2k,求导得 [*] 令g’(x)=0,得驻点x=2. ①当0<x<1时,g’(x)<0,因此g(x)在(0,1)上单调递减,则 g(x)>g(1)=1+2k≥1+2(ln2—1)=2ln2—1>0. 因此f’(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增,故f(x)<f(1)=0. 在(0,1)上,由x一1<0,f(x)<0,可得 (x一1)(x一ln
2
x+2klnx一1)>0. ②当x>1时,可知当1<x<2时,g’(x)<0;当x>2时,g’(x)>0. 因此g(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则 g(x)>g(2)=2—2ln2+2k≥2—2ln2+2(ln2—1)=0. 因此f’(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,故f(x)>f(1)=0. 在(1,+∞)上,由x一1>0,f(x)>0,可得 (x一1)(x一ln
2
x+2klnx一1)>0. 综上所述:当x>0时,不等式(x一1)(x一ln
2
x+2klnx一1)≥0恒成立.
解析
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