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  3. 二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值等于____________，最大值等于____________，最小值等于_____________．

二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值等于____________，最大值等于____________，最小值等于_____________．

admin2020-05-02  22
问题 二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值等于____________，最大值等于____________，最小值等于_____________．
选项
答案4，4，一64．
解析 首先在区域D内求驻点，令在D内仅有唯一驻点(2，1)，且在点(2，1)处有
    A=fxx(2，1)=(8y－6xy－2y2)|(2,1)=－6＜0
    B=fxy(2，1)=(8x－3x2－4xy)|(2,1)=－4
    C=fyy(2，1)=－2x2|(2,1)=－8
  于是B2－AC=－32＜0，因而点(2，1)是极大值点，且极大值f(2，1)=4．
    在D的边界x=0(0≤x≤6)和y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0．
    在D的边界x+y=6(0＜x＜6)上，将y=6一x代入f(x，y)可得
    z=2x2(x－6)(0＜x＜6)
    又z′=6x(x－4)，且当0＜x＜4时，z′＜0；当4＜x＜6时，z′＞0，所以点(4，2)是这段边界上z的最小值点，最小值f(4，2)=-64，综上可知，f(x，y)在D的边界上的最大值是0，最小值是f(4，2)=－64．
    比较D内驻点的函数值f(2，1)=4和f(x，y)在D的边界上的最大值和最小值，可得f(x，y)在D上的最大值和最小值分别是
   
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