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二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值等于____________,最大值等于____________,最小值等于_____________.
二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值等于____________,最大值等于____________,最小值等于_____________.
admin
2020-05-02
32
问题
二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值等于____________,最大值等于____________,最小值等于_____________.
选项
答案
4,4,一64.
解析
首先在区域D内求驻点,令
在D内仅有唯一驻点(2,1),且在点(2,1)处有
A=f
xx
(2,1)=(8y-6xy-2y
2
)|
(2,1)
=-6<0
B=f
xy
(2,1)=(8x-3x
2
-4xy)|
(2,1)
=-4
C=f
yy
(2,1)=-2x
2
|
(2,1)
=-8
于是B
2
-AC=-32<0,因而点(2,1)是极大值点,且极大值f(2,1)=4.
在D的边界x=0(0≤x≤6)和y=0(0≤x≤6)上,f(x,y)=0.
在D的边界x+y=6(0<x<6)上,将y=6一x代入f(x,y)可得
z=2x
2
(x-6)(0<x<6)
又z′=6x(x-4),且当0<x<4时,z′<0;当4<x<6时,z′>0,所以点(4,2)是这段边界上z的最小值点,最小值f(4,2)=-64,综上可知,f(x,y)在D的边界上的最大值是0,最小值是f(4,2)=-64.
比较D内驻点的函数值f(2,1)=4和f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值,可得f(x,y)在D上的最大值和最小值分别是
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考研数学一
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