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问λ取何值时,二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型?
问λ取何值时,二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型?
admin
2019-03-12
69
问题
问λ取何值时,二次型f=x
1
2
+4x
2
2
+4x
3
2
+2λx
1
x
2
一2x
1
x
3
+4x
2
x
3
为正定二次型?
选项
答案
f的矩阵为 [*] 二次型f正定的充分必要条件是:A的顺序主子式全为正。而A的顺序主子式为: [*] 于是,f正定的充分必要条件是:D
2
>0,D
3
>0. 由D
2
=4一λ
2
>0,可见一2<λ<2 由D
3
=一4(λ一1)(λ+2)>0,可见一2<λ<1 可见一2<λ<1.因此,二次型f正定当且仅当一2<λ<1.
解析
本题主要考查二次型正定性的判别。注意,对于n元二次型f(x
1
,…,x
n
)=X
T
AX(其中A为实对
称矩阵,X=(x
1
,…,x
n
)
T
),下列条件都是,正定(实对称矩阵A正定)的充要条件:
(1)(正定的定义)对于R
n
中任意非零向量X,恒有f(x)=X
T
AX>0;
(2)f的标准形中的n个系数都是正数;
(3)A的特征值全都为正数;
(4)存在可逆矩阵M,使得A=M
T
M;
(5)A的顺序主子式全为正。
其中,对于给定的二次型(或实对称矩阵),通常应用条件(5)来判别正定性比较方便,而其它条件在理论讨论中用得较多。
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考研数学三
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