问λ取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型?

admin2019-03-12 91

问题问λ取何值时，二次型f=x₁²+4x₂²+4x₃²+2λx₁x₂一2x₁x₃+4x₂x₃为正定二次型?

选项

答案f的矩阵为 [*] 二次型f正定的充分必要条件是：A的顺序主子式全为正。而A的顺序主子式为： [*] 于是，f正定的充分必要条件是：D₂＞0，D₃＞0．由D₂=4一λ²＞0，可见一2＜λ＜2 由D₃=一4(λ一1)(λ+2)＞0，可见一2＜λ＜1 可见一2＜λ＜1．因此，二次型f正定当且仅当一2＜λ＜1．

解析本题主要考查二次型正定性的判别。注意，对于n元二次型f(x₁，…，x_n)=X^TAX(其中A为实对
称矩阵，X=(x₁，…，x_n)^T)，下列条件都是，正定(实对称矩阵A正定)的充要条件：
(1)(正定的定义)对于Rⁿ中任意非零向量X，恒有f(x)=X^TAX＞0；
(2)f的标准形中的n个系数都是正数；
(3)A的特征值全都为正数；
(4)存在可逆矩阵M，使得A=M^TM；
(5)A的顺序主子式全为正。
其中，对于给定的二次型(或实对称矩阵)，通常应用条件(5)来判别正定性比较方便，而其它条件在理论讨论中用得较多。

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考研数学三

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设随机变量X的概率密度为f(χ)＝表示对X的3次独立重复观测中事件{X≤}发生的次数，则P(Y≤2)＝()．

设z＝f(u)，方程u＝φ(u)＋∫yχp(t)dt确定是χ，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，p(t)，φ′(u)连续且φ′(u)≠1，则＝()．

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n．①求二次型xTAx的规范形．②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

差分方程yt+1—3yt=20cos满足条件y0=5的特解是________．

与曲线（y—2）2=x相切，且与曲线在点（1，3）处的切线垂直，则此直线方程为________．

二阶常系数非齐次线性微分方程y"－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=_________。

已知随机变量X的概率密度为fX(x)=当X=x(x＞0)时，Y服从(0，x)上的均匀分布。(Ⅰ)求(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)求关于Y的边缘概率密度fY(y)及条件概率密度fX｜Y(x｜y)；(Ⅲ)判断随机变量X，Y是否独

设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．(I)求S=S(a)的表达式；(Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?

设z=z（x，y）是由x2—6xy+10y2一2yz—z2+18=0确定的函数，求z=z（x，y）的极值点和极值。

假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g"（x）≠0，f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0，试证：（Ⅰ）在开区间（a，b）内g（x）≠0；（Ⅱ）在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使

HaveSmartphonesDestroyedaGeneration?A)I’vebeenresearchinggenerationaldifferencesfor25years,startingwhenIwas

本病可能的诊断为对于本病治疗最重要的是

牙龈炎发展到确立期病损阶段，其主要临床病理特征是

15。关于股东的表述，下列哪一选项是正确的?()

当钢管壁厚为6～10mm时，对口错边量允许偏差_______mm。()

由于汇总转账凭证是按每一贷方科目设置的，为了便于汇总，编制转账的记账凭证可以是()。

我国目前只对国家所有的土地征收城镇土地使用税，对集体所有的土地不征收城镇土地使用税。(　　　)

地役权的取得的主要途径就是依据法律行为设定地役权。()

苏联20世纪30年代教育改革的成功经验之一是()

SomescientistsspeculatethatasmallpterosauroftheJurassicperiodknownasSordespilosushad______wingsthatwerethin,p

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