问λ取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型?

admin2019-03-12 59

问题问λ取何值时，二次型f=x₁²+4x₂²+4x₃²+2λx₁x₂一2x₁x₃+4x₂x₃为正定二次型?

选项

答案f的矩阵为 [*] 二次型f正定的充分必要条件是：A的顺序主子式全为正。而A的顺序主子式为： [*] 于是，f正定的充分必要条件是：D₂＞0，D₃＞0．由D₂=4一λ²＞0，可见一2＜λ＜2 由D₃=一4(λ一1)(λ+2)＞0，可见一2＜λ＜1 可见一2＜λ＜1．因此，二次型f正定当且仅当一2＜λ＜1．

解析本题主要考查二次型正定性的判别。注意，对于n元二次型f(x₁，…，x_n)=X^TAX(其中A为实对
称矩阵，X=(x₁，…，x_n)^T)，下列条件都是，正定(实对称矩阵A正定)的充要条件：
(1)(正定的定义)对于Rⁿ中任意非零向量X，恒有f(x)=X^TAX＞0；
(2)f的标准形中的n个系数都是正数；
(3)A的特征值全都为正数；
(4)存在可逆矩阵M，使得A=M^TM；
(5)A的顺序主子式全为正。
其中，对于给定的二次型(或实对称矩阵)，通常应用条件(5)来判别正定性比较方便，而其它条件在理论讨论中用得较多。

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考研数学三

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