问λ取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型?

admin2019-03-12 68

问题问λ取何值时，二次型f=x₁²+4x₂²+4x₃²+2λx₁x₂一2x₁x₃+4x₂x₃为正定二次型?

选项

答案f的矩阵为 [*] 二次型f正定的充分必要条件是：A的顺序主子式全为正。而A的顺序主子式为： [*] 于是，f正定的充分必要条件是：D₂＞0，D₃＞0．由D₂=4一λ²＞0，可见一2＜λ＜2 由D₃=一4(λ一1)(λ+2)＞0，可见一2＜λ＜1 可见一2＜λ＜1．因此，二次型f正定当且仅当一2＜λ＜1．

解析本题主要考查二次型正定性的判别。注意，对于n元二次型f(x₁，…，x_n)=X^TAX(其中A为实对
称矩阵，X=(x₁，…，x_n)^T)，下列条件都是，正定(实对称矩阵A正定)的充要条件：
(1)(正定的定义)对于Rⁿ中任意非零向量X，恒有f(x)=X^TAX＞0；
(2)f的标准形中的n个系数都是正数；
(3)A的特征值全都为正数；
(4)存在可逆矩阵M，使得A=M^TM；
(5)A的顺序主子式全为正。
其中，对于给定的二次型(或实对称矩阵)，通常应用条件(5)来判别正定性比较方便，而其它条件在理论讨论中用得较多。

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考研数学三

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设二维连续型随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，其中D={（x，y）10≤y≤x≤2—y}．试求：（Ⅰ）X+Y的概率密度；（Ⅱ）X的边缘概率密度；（Ⅲ）P{Y≤0．2|X=1．5}．

函数f（x）=cosx+xsinx在（—2π，2π）内零点的个数为

设图形（a），（b），（c）如下：从定性上看，若函数f（x）在[0，1]内可导，则y=f（x），y=∫0xf（t）dt与y=f’（x）的图形分别是

证明推广的积分中值定理：设F（x）与G（x）都是区间[a，b]上的连续函数，且G（x）≥0，G（x）0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得∫abF（x）G（x）dx=F（ξ）∫abG（x）dx．

设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），已知齐次方程组AX=0的通解为c（1，—2，1，0）T，c任意，则下列选项中不对的是

设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是

二阶常系数非齐次线性微分方程y"－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=_________。

设A为3阶实对称矩阵，α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆。(Ⅰ)求齐次线性方程组(A－6E)x=0的通解：(Ⅱ)求正交变换x=Qy将二次型XTAx化为标准形；

设f（x）在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0af（x）dx=af（0）+

A、①B、②C、③D、④D

某国家机关工作人员任某的财产及其支出，明显超过其合法收入，差额巨大，当司法机关责令其说明来源时，其又不能说明，后经司法机关查证系其收受贿赂、贪污及择用公款所得，对任某的行为认定正确的是()

《中华人民共和国建筑法》规定，工程监理单位(　　)，给建设单位造成损失的，应当承担相应的赔偿责任。

在工程进度曲线中，将实际进度与计划进度进行比较，可以获得的信息是()。

融资租赁中出租人为承租人购买设备所垫付的资金，要从承租人那里通过()的方式全部收回。

InmostcountriesaPhDisabasicrequirementforacareerinacademia.Itisa(n)【C1】______totheworldofindependentresear

【B1】【B7】

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函数f（x）=cosx+xsinx在（—2π，2π）内零点的个数为

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二阶常系数非齐次线性微分方程y"－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=_________。

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设f（x）在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0af（x）dx=af（0）+

A、①B、②C、③D、④D

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《中华人民共和国建筑法》规定，工程监理单位( )，给建设单位造成损失的，应当承担相应的赔偿责任。

在工程进度曲线中，将实际进度与计划进度进行比较，可以获得的信息是()。

融资租赁中出租人为承租人购买设备所垫付的资金，要从承租人那里通过()的方式全部收回。

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【B1】【B7】

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