2. 考研
  3. 设f（x）在（—1，1）内具有二阶连续导数且f"（x）≠0。证明： （Ⅰ）对于任意的x∈（—1，0）∪（0，1），存在唯一的θ（x）∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf’（θ（x）x）成立；

设f（x）在（—1，1）内具有二阶连续导数且f"（x）≠0。证明： （Ⅰ）对于任意的x∈（—1，0）∪（0，1），存在唯一的θ（x）∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf’（θ（x）x）成立；

admin2017-12-29  69
问题 设f（x）在（—1，1）内具有二阶连续导数且f"（x）≠0。证明：
（Ⅰ）对于任意的x∈（—1，0）∪（0，1），存在唯一的θ（x）∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf’（θ（x）x）成立；
选项
答案（Ⅰ）由拉格朗日中值定理，对任意x∈（—1，1），x≠0，存在θ∈（0，1）使f（x）=f（0）+xf’（θx），（θ与x有关）。 又由f"（x）连续且f"（x）≠0，故f"（x）在（—1，1）不变号，所以f’（x）在（—1，1）严格单调，θ唯一。 （Ⅱ）由（θ）中的式子，则有 [*] 由上式可得θ的表达式，并令x→0取极限得 [*]
解析
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考研数学三

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