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设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点。 试求曲线L的方程;
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点。 试求曲线L的方程;
admin
2019-07-22
65
问题
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点
。
试求曲线L的方程;
选项
答案
设曲线L过点p(x,y)的切线方程为Y一y=y’(X一x),令X=0,则Y=一xy’+y,即它在y轴上的截距为一xy’+y。根据距离公式,点P(x,y)到坐标原点的距离为[*]。故由题设条件得 [*] 即得[*] 此为一阶齐次微分方程,令y=ux,则[*]代入上式,方程变为 [*] 两端同时积分得[*]=一lnx+C,即 [*] 把[*]代入上式,得 [*] 由题设曲线经过点[*],解得[*],故所求方程为 [*]
解析
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考研数学二
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