设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点。试求曲线L的方程；

admin2019-07-22 61

问题设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点

。
试求曲线L的方程；

选项

答案设曲线L过点p(x，y)的切线方程为Y一y=y’(X一x)，令X=0，则Y=一xy’+y，即它在y轴上的截距为一xy’+y。根据距离公式，点P(x，y)到坐标原点的距离为[*]。故由题设条件得 [*] 即得[*] 此为一阶齐次微分方程，令y=ux，则[*]代入上式，方程变为 [*] 两端同时积分得[*]=一lnx+C，即 [*] 把[*]代入上式，得 [*] 由题设曲线经过点[*]，解得[*]，故所求方程为 [*]

解析

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