设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫f(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)．

admin2018-05-17 147

问题设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫f(χ)dχ＝(b－a)f

f〞(ξ)．

选项

答案令F(χ)＝∫_a^χf(t)dt，则F(χ)在[a，b]上三阶连续可导，取χ₀＝[*]，由泰勒公式得 F(a)＝F(χ₀)＋F′(χ₀)(a－χ₀)＋[*](a－χ₀)²＋[*](a－χ₀)³，ξ₁∈(a，χ₀)， F(b)＝F(χ₀)＋F′(χ₀)(b－χ₀)＋[*](b－χ₀)²＋[*](b－χ₀)³，ξ₂∈(χ₀，b) 两式相减得F(b)－F(a)＝F′(χ₀)(b－a)＋[*][F″′(ξ₁)＋F″′(ξ₂)]，即 [*] 因为f〞(χ)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ₁，ξ₂][*](a，b)，使得 f〞(ξ)＝[*][f〞(ξ₁)＋f〞(ξ₂)]，从而 [*]

解析

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考研数学二

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