设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=,其中k﹥1。证明: 存在ξ∈(0,1)使f’(ξ)=成立。

admin2019-12-06  22

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=,其中k﹥1。证明:
存在ξ∈(0,1)使f(ξ)=成立。

选项

答案令g(y)=k∫0yxe1-xf(x)dx,则g(0)=0,g(1/k)=f(1),由拉格朗日中值定理可知,存在η∈(0,1/k),使得 [*], 故kf(1)=kηe1-ηf(η),即f(1)=ηe1-ηf(η)。 再令φ(x)=xe1-xf(x),则φ(0)=0,φ(1)=f(1),所以φ(1)=f(1)=φ(η),由罗尔定理可知,存在ξ∈(η,1)[*](0,1),使得φ(ξ)=0,即 [*], 所以f(ξ)=[*]。

解析
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