设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

admin2018-04-15 45

问题设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：B^TAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

选项

答案因为(B^TAB)^T＝B^TA^T(B^T)T＝B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵，设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0， X^TB^TABX＝(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX＝0只有零解，所以r(B)＝n．反之，设r(B)＝n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X＝(BX)^TA(BX)＞0，所以B^TAB为正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cYr4777K

考研数学一

相关试题推荐

设f(x)是连续函数，利用定义证明函数F(x)=可导，且F’(x)=f(x)；
=_________．
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．
将函数的幂级数是＿＿＿＿＿＿＿＿。
如果幂级数在x＝－1收敛，在x＝3发散，则其收敛半径为＿＿＿＿＿＿＿＿。
设某种器件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为20小时，在使用中当一个器件损坏后立即更换另一个新的器件，如此连续下去，已知每个器件进价为a元，试求在年计划中应为此器件做多少预算，才可以有95％的把握保证一年够用(假定一年按2000
设f(0)＝g(0)，f’(0)＝g’(0)，f"(x)＜g"(x)(当x＞0时)，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)。
设随机变量(ξ，η)的概率密度为试求(ξ，η)的分布函数；
欧拉方程+2y=0(x＞0)的通解为_________．
现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，-1，5)T，(0，4，-2)T，(1，3，0)T；②(a，1，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f，0，3)T；③(a，1，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，

随机试题

教师工作评估的重点部分是教师的()
下列法官不需要免除其职务的是()。
根据《担保法》的规定，定金的数额由当事人约定，但不得超过主合同标的额的()。
下列项目中，不征或免征土地增值税的有()。
2014年7月1日，人民法院裁定受理债务人甲公司的破产申请，并指定乙律师事务所担任破产管理人。破产费用合计为100万元，共益债务合计为400万元，共益债务中，因管理人继续履行与乙公司订立的合同而产生应支付给乙公司的货款共200万元，经清算，债务人财产为20
根据《军人抚恤优待条例》，经军队()级以上单位政治机关批准随军的现役军官家属、文职干部家属、士官家属，由驻军所在地的公安机关办理落户手续。
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
键盘的读写是以字符为单位的，通常键盘的I／O控制主要采用()。
某二叉树的中序序列为CBADE，后序序列为CBEDA，则前序序列为()。
发行

最新回复(0)

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

考研数学一

设f(x)是连续函数，利用定义证明函数F(x)=可导，且F’(x)=f(x)；

=_________．

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

将函数的幂级数是＿＿＿＿＿＿＿＿。

如果幂级数在x＝－1收敛，在x＝3发散，则其收敛半径为＿＿＿＿＿＿＿＿。

设f(0)＝g(0)，f’(0)＝g’(0)，f"(x)＜g"(x)(当x＞0时)，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)。

设随机变量(ξ，η)的概率密度为试求(ξ，η)的分布函数；

欧拉方程+2y=0(x＞0)的通解为_________．

现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，-1，5)T，(0，4，-2)T，(1，3，0)T；②(a，1，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f，0，3)T；③(a，1，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，

教师工作评估的重点部分是教师的()

下列法官不需要免除其职务的是()。

根据《担保法》的规定，定金的数额由当事人约定，但不得超过主合同标的额的()。

下列项目中，不征或免征土地增值税的有()。

根据《军人抚恤优待条例》，经军队()级以上单位政治机关批准随军的现役军官家属、文职干部家属、士官家属，由驻军所在地的公安机关办理落户手续。

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

键盘的读写是以字符为单位的，通常键盘的I／O控制主要采用()。

某二叉树的中序序列为CBADE，后序序列为CBEDA，则前序序列为()。

发行