已知函数f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，且对任意的光滑有向封闭曲面∑，都有求函数f(x)的表达式．

admin2017-05-31 59

问题已知函数f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，

且对任意的光滑有向封闭曲面∑，都有

求函数f(x)的表达式．

选项

答案由于第二类曲面积分与封闭曲面的无关性，所以[*] 即 e^xf’’(x)+e^xf’(x)一2e^xf(x)一e^x=0，即 f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1．其对应齐次方程的特征根为λ=一2，λ=1，故对应齐次方程的通解为c₁e^x+c₂e^－2x．由于非齐次项p(x)=e^0x，所以非齐次方程有形如y^*=A的特解，代入方程得[*]所以，[*]

解析本题主要考查封闭曲面积分与路径的无关性以及二阶常系数线性微分方程的解法，是一道较综合的题．

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考研数学一

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