2. 考研
  3. 设f(x，y)在点(0，0)处连续，且，其中a，b，c为常数． (Ⅰ)求f(0，0)的值． (Ⅱ)证明f(x，y)在点(0，0)处可微，并求出df(x，y)｜(0，0)． (Ⅲ)讨论f(x，Y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由．

设f(x，y)在点(0，0)处连续，且，其中a，b，c为常数． (Ⅰ)求f(0，0)的值． (Ⅱ)证明f(x，y)在点(0，0)处可微，并求出df(x，y)｜(0，0)． (Ⅲ)讨论f(x，Y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由．

admin2015-05-07  65
问题 设f(x，y)在点(0，0)处连续，且，其中a，b，c为常数．
    (Ⅰ)求f(0，0)的值．
    (Ⅱ)证明f(x，y)在点(0，0)处可微，并求出df(x，y)｜(0，0)．
    (Ⅲ)讨论f(x，Y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由．
选项
答案(Ⅰ)当(x，y)→(0，0)时ln(1+x2+y2)～x2+y2，由求极限中等价无穷小因子替换得 [*] 又由f(x，y)在点(0．0)处的连续性即得f(0．0)=[*]=a． (Ⅱ)再由极限与无穷小的关系可知 [*]=1+o(1)(o(1)为当(x，y)→(0，0)时的无穷小量)[*]f(x，y)－f(0，0)－bx－cy=x2+y2+(x2+y2)o(1)=o(ρ)(ρ=[*]→0)， 即 f(x，y)－f(0，0)=bx+cy+o(ρ) (ρ→0)． 由可微性概念[*] f(x，y)在点(0，0)处可微且df(x，y)｜ (0，0)=bdx+cdy． (Ⅲ)由df(x，y)｜ (0，0)=bdx+cdy[*] 于是当b，C不同时为零时f(x，y)在点(0，0)处不取极值． 当b=c=0时，由于 [*] 又由极限不等式性质[*]δ>0，当0＜x2+y2<δ2时，[*]>0，即f(x，y)>f(0，0)． 因此f(x，y)在点(0，0)处取极小值．
解析
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考研数学一

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