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求下列幂级数的收敛域: (Ⅲ) unxn的收敛半径R=3;(只求收敛区间) (Ⅳ) an(x一3)n,其中x=0时收敛,x=6时发散.
求下列幂级数的收敛域: (Ⅲ) unxn的收敛半径R=3;(只求收敛区间) (Ⅳ) an(x一3)n,其中x=0时收敛,x=6时发散.
admin
2019-08-06
58
问题
求下列幂级数的收敛域:
(Ⅲ)
u
n
x
n
的收敛半径R=3;(只求收敛区间)
(Ⅳ)
a
n
(x一3)
n
,其中x=0时收敛,x=6时发散.
选项
答案
(Ⅰ)[*]有相同的收敛半径,可以用求收敛半径公式,首先计算 [*] 所以R=1. 再考察幂级数在两个端点x=±1处的敛散性.当x=1时,级数[*]单调递减,令f(x)=[*]<1,ln(1+x)>1,从而当x≥2时有f’(x)<0,即f(x)当x≥2时单调递减,所以 [*],(n≥2). 从而[*]满足莱布尼茨判别法的两个条件,故该级数收敛.这样即得[*]的收敛域为[一1,1). (Ⅱ)由于[*],所以其收敛半径为2. 又由于本题是关于x+1的幂级数,所以收敛区间的两个端点为x=一3与x=1.当x=一3时,原级数为[*]是一个交错级数,而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件,所以是收敛的.这表明幂级数[*](x+1)
n
的收敛域为(—3,1]. (Ⅲ)[*]a
n
(x一1)
n
有相同的收敛半径R=3.因而其收敛区间为(一2,4). (Ⅳ)考察[*]a
n
t
n
,由题设t=一3时它收敛知收敛半径R≥3,又t=3时其发散知R≤3.因此R=3,由此可知[*]a
n
t
n
的收敛域是[一3,3),故原级数的收敛域是[0,6).
解析
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考研数学三
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