2. 考研
  3. 求下列幂级数的收敛域： (Ⅲ) unxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间) (Ⅳ) an(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．

求下列幂级数的收敛域： (Ⅲ) unxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间) (Ⅳ) an(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．

admin2019-08-06  51
问题 求下列幂级数的收敛域：

(Ⅲ)  unxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)
(Ⅳ)  an(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．
选项
答案(Ⅰ)[*]有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式，首先计算 [*] 所以R=1． 再考察幂级数在两个端点x=±1处的敛散性．当x=1时，级数[*]单调递减，令f(x)=[*]＜1，ln(1+x)＞1，从而当x≥2时有f’(x)＜0，即f(x)当x≥2时单调递减，所以 [*]，(n≥2)． 从而[*]满足莱布尼茨判别法的两个条件，故该级数收敛．这样即得[*]的收敛域为[一1，1)． (Ⅱ)由于[*]，所以其收敛半径为2． 又由于本题是关于x+1的幂级数，所以收敛区间的两个端点为x=一3与x=1．当x=一3时，原级数为[*]是一个交错级数，而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的．这表明幂级数[*](x+1)n的收敛域为(—3，1]． (Ⅲ)[*]an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)． (Ⅳ)考察[*]antn，由题设t=一3时它收敛知收敛半径R≥3，又t=3时其发散知R≤3．因此R=3，由此可知[*]antn的收敛域是[一3，3)，故原级数的收敛域是[0，6)．
解析
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考研数学三

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