在旋转椭球面x2+y2+=1(c＞0)上内接一个顶点在椭球面上，且表面平行于坐标面的长方体，问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。

admin2018-05-25 51

问题在旋转椭球面x²+y²+

=1(c＞0)上内接一个顶点在椭球面上，且表面平行于坐标面的长方体，问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。

选项

答案设内接长方体在第一象限内的顶点为A(x，y，z)，则长方体的体积为V=8xyz，其中A(x，y，z)的坐标满足x²+y²+[*]=1。由方程x²+y²+[*]，从而把三元函数V=8xyz求最大值的问题化为求下述二元函数求最大值的问题： V(x，y)=8cxy[*]，0＜x＜1，0＜y＜1。等式两边分别对x和y求偏导，得方程组 [*] 解得x=[*]是函数V(x，y)在定义域内的唯一驻点，且由实际问题的性质知，体积最大的内接长方体一定存在，所以[*]就是V(x，y)的最大值点。因此当长方体的长、宽、高分别取[*]时，内接长方体的体积最大。

解析

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考研数学一

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在旋转椭球面x2+y2+=1(c＞0)上内接一个顶点在椭球面上，且表面平行于坐标面的长方体，问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。

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