已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,一1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,6+3,5). (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合? (2)a、b为何值时,

admin2016-04-11  28

问题 已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,一1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,6+3,5).
    (1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?
    (2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?并写出该表示式.

选项

答案设β=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4,即 [*] 将上面方程组的增广矩阵用初等行变换化成阶梯形: [*] 由此可知 (1)当a=一1且b≠0时,r(A)=2,而[*]=3,方程组无解,所以β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合. (2)当a≠一1时,r(A)=[*]=4,:疗程组有唯一解,即β可由α1,α2,α3,α4唯一地线性表出,且有 [*]

解析 本题考查非齐次线性方程组解的情况的判定及求解方法.注意系数矩阵A的秩等于由A经初等行变换化成的阶梯形矩阵中非零行的个数,所以分a≠一1和a=一1两种情况分别讨论.
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