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设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为任一点,M0(2,0)为L上一定点.若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为任一点,M0(2,0)为L上一定点.若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
admin
2022-01-17
57
问题
设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为任一点,M
0
(2,0)为L上一定点.若极径OM
0
,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M
0
,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
选项
答案
根据题意,由面积与弧长的计算公式得[*] 将上式两边对θ求导,得[*],此为可分离变量方程, 从而[*],此式两边积分,得[*] 即-arcsin(1/r)+C=±θ.由已知r(0)=2,代入上式得C=π/6, 故曲线L的方程为[*],由于rcosθ=x,rsinθ=y, 于是所求直线为[*]
解析
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考研数学二
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