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  3. n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )

n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )

admin2019-03-14  50
问题 n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是    (    )
选项 A、存在一组全为零的数k1，k2，…，ks，使
              k1α1+k2α2+…+ksαs=0
B、α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关
C、α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
D、存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使
                k1α1+k2α2+…+ksαs≠0
答案C
解析 可用反证法证明之．必要性：假设有一向量，如αs可由α1，α2，…，αs-1线性表出，则α1，α2，…，αs线性相关，这和已知矛盾，故任意一个向量均不能由其余向量线性表出；充分性：假设α1，α2，…，αs线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α1，α2，…，αs线性无关．(A)对任何向量组都有0α1+0α2+…+0αs=0的结论；(B)必要但不充分，如α1=[0，1，0]T，α2=[1，1，0]T，α3=[1，0，0]T任意两个线性无关，但α1，α2，α3线性相关；(D)必要但不充分．如上例α1+α2+α3≠0，但α1，α2，α3线性相关．
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考研数学二

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