(2015年)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，由线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式。

admin2018-03-11 57

问题 (2015年)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x₀∈I，由线y=f(x)在点(x₀，f(x₀))处的切线与直线x=x₀及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式。

选项

答案先写出切线方程：y=f′(x₀)(x—x₀)+f(x₀)，令y=0，则可以得到 [*] 所以(x₀，0)到切线与x轴交点的距离为[*](x₀，0)与切点距离为f(x₀)，可以得到切线与x=x₀，x轴所围成的直角三角形面积为[*]整理得微分方程f²(x₀)=8f′(x₀)，解该微分方程得 [*] 又因为f(0)=2，可以计算出[*]

解析

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