(1)设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求f(x)． (2)设f(x)在(-1，+∞)内连续，且f(x)-∫0xtf(t)dt=1(x＞-1)，求f(x)．

admin2019-09-04 22

问题 (1)设f(x)=e^x-∫₀^x(x-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求f(x)．
(2)设f(x)在(-1，+∞)内连续，且f(x)-

∫₀^xtf(t)dt=1(x＞-1)，求f(x)．

选项

答案(1)由f(x)=e^x-∫₀^x(x-t)f(t)dt，得f(x)=e^x-x∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=e^x-∫₀^xf(t)dt，两边再对x求导得f’’(x)+f(x)=e^x，其通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinx+[*]e^x．在f(x)=e^x-∫₀^x(x-t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=e^x-∫₀^xf(t)dt中，令x=0 得f’(0)=1，于是有C₁=[*]，C₂=[*]，故 f(x)=[*](cosx+sinx)+[*]e^x． (2)由f(x)-[*]∫₀^xf(t)dt=1得(x+1)f(x)-∫₀^xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)+(x+1)f’(x)=xf(x)=1，整理得[*]，解得 [*] 由f(0)=1得C=3，故 [*]

解析

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考研数学三

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(1)设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt，其中f(x)二阶可导，求f(x)． (2)设f(x)在(-1，+∞)内连续，且f(x)-∫0xtf(t)dt=1(x＞-1)，求f(x)．

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