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(1)设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f(x)二阶可导,求f(x). (2)设f(x)在(-1,+∞)内连续,且f(x)-∫0xtf(t)dt=1(x>-1),求f(x).
(1)设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f(x)二阶可导,求f(x). (2)设f(x)在(-1,+∞)内连续,且f(x)-∫0xtf(t)dt=1(x>-1),求f(x).
admin
2019-09-04
55
问题
(1)设f(x)=e
x
-∫
0
x
(x-t)f(t)dt,其中f(x)二阶可导,求f(x).
(2)设f(x)在(-1,+∞)内连续,且f(x)-
∫
0
x
tf(t)dt=1(x>-1),求f(x).
选项
答案
(1)由f(x)=e
x
-∫
0
x
(x-t)f(t)dt,得f(x)=e
x
-x∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(t)dt, 两边对x求导,得f’(x)=e
x
-∫
0
x
f(t)dt, 两边再对x求导得f’’(x)+f(x)=e
x
,其通解为f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+[*]e
x
. 在f(x)=e
x
-∫
0
x
(x-t)f(t)dt中,令x=0得f(0)=1,在f’(x)=e
x
-∫
0
x
f(t)dt中,令x=0 得f’(0)=1,于是有C
1
=[*],C
2
=[*],故 f(x)=[*](cosx+sinx)+[*]e
x
. (2)由f(x)-[*]∫
0
x
f(t)dt=1得(x+1)f(x)-∫
0
x
tf(t)dt=x+1, 两边求导得f(x)+(x+1)f’(x)=xf(x)=1, 整理得[*],解得 [*] 由f(0)=1得C=3,故 [*]
解析
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考研数学三
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