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G={(x,y)|x2+y2≤r2}是以原点为圆心,半径为r的圆形区域,而随机变量X和Y的联合分布是在区域G上的均匀分布.试确定随机变量X和Y的独立性和相关性.
G={(x,y)|x2+y2≤r2}是以原点为圆心,半径为r的圆形区域,而随机变量X和Y的联合分布是在区域G上的均匀分布.试确定随机变量X和Y的独立性和相关性.
admin
2018-09-20
56
问题
G={(x,y)|x
2
+y
2
≤r
2
}是以原点为圆心,半径为r的圆形区域,而随机变量X和Y的联合分布是在区域G上的均匀分布.试确定随机变量X和Y的独立性和相关性.
选项
答案
X和Y的联合概率密度为 [*] 那么,X的概率密度f
1
(x)和Y的概率密度f
2
(y)分别为 [*] 故f(x,y)≠f
1
(x)f
2
(y),从而随机变量X和Y不独立. 证明X和Y不相关,即证X和Y的相关系数ρ=0. [*] 因此,有 Cov(X,Y)=E(XY)=∫
-∞
+∞
∫
-∞
+∞
xyf(x,y)dxdy=[*] 于是,X和Y的相关系数ρ=0.这样,X和Y虽然不相关,但是不独立.
解析
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考研数学三
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