设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足xfˊ(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

admin2019-08-06  28

问题 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并且满足xfˊ(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积为2.求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

选项

答案由题设,当x≠0时,[*] 据此并由f(x)在点x=0处的连续性,得 f(x)=[*]x2+Cx,x∈[0,1]. 又由已知条件2=∫01[*],即C=4-a.因此, f(x)=[*]ax2+(4-a)x. 旋转体的体积为V(a)=π∫01[f(x)]2dx=([*])π,令Vˊ(a)=([*])π=0,得a=-5.又Vˊˊ(A)=[*]>0,故当a=-5时,旋转体体积最小.

解析
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