2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xfˊ(x)=f(x)+x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xfˊ(x)=f(x)+x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

admin2019-08-06  48
问题 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xfˊ(x)=f(x)+x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．
选项
答案由题设，当x≠0时，[*] 据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得 f(x)=[*]x2+Cx，x∈[0，1]． 又由已知条件2=∫01[*]，即C=4－a．因此， f(x)=[*]ax2+(4－a)x． 旋转体的体积为V(a)=π∫01[f(x)]2dx=([*])π，令Vˊ(a)=([*])π=0，得a=－5．又Vˊˊ(A)=[*]＞0，故当a=－5时，旋转体体积最小．
解析
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考研数学三

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