设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个: (Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导,且=1; (Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导,f′(0)=0,且-1)f″(x)-xf′(x)=ex-1,则下列说法正确的是

admin2016-10-26  31

问题 设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个:
(Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导,且=1;
(Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导,f′(0)=0,且-1)f″(x)-xf′(x)=ex-1,则下列说法正确的是

选项 A、f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))不是曲线y=f(x)的拐点.
B、f(0)是f(x)的极小值.
C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.
D、f(0)是f(x)的极大值.

答案C,B

解析 (Ⅰ)由条件=1及f′(x)在x=0连续即知f′(x)=f′(0)=0.
用洛必达法则得型未定式极限J=
f″(x)=f″(0),若f″(0)≠0,则J=∞,与J=1矛盾,故必有f″(0)=0.再由(0)的定义得

因此,(0,f(0))是拐点.选(C).
(Ⅱ)已知f′(0)=0,现考察f″(0).由方程得

=3f′(x)=3+0=3,
由f″(x)在x=0连续f″(0)=3>0.因此f(0)是f(x)的极小值.应选(B).
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