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设α1=(1,0,-1,0)T,α2=(0,1,0,a)T,α3=(1,1,a,-1)T,记A=(α1,α2,α3). (Ⅰ)解齐次线性方程组(ATA)x=0; (Ⅱ)当a,b为何值时,向量组β1=(1,1,b,a)T,β2=(1,2,-1,2a)T可由向
设α1=(1,0,-1,0)T,α2=(0,1,0,a)T,α3=(1,1,a,-1)T,记A=(α1,α2,α3). (Ⅰ)解齐次线性方程组(ATA)x=0; (Ⅱ)当a,b为何值时,向量组β1=(1,1,b,a)T,β2=(1,2,-1,2a)T可由向
admin
2020-10-30
37
问题
设α
1
=(1,0,-1,0)
T
,α
2
=(0,1,0,a)
T
,α
3
=(1,1,a,-1)
T
,记A=(α
1
,α
2
,α
3
).
(Ⅰ)解齐次线性方程组(A
T
A)x=0;
(Ⅱ)当a,b为何值时,向量组β
1
=(1,1,b,a)
T
,β
2
=(1,2,-1,2a)
T
可由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示?并求出一般表示式.
选项
答案
(Ⅰ)由于(A
T
A)x=0与Ax=0同解,故只需求Ax=0的解即可.对A实施初等行变换,得[*] 当a≠-1时,R(A)=3,Ax=0只有零解; 当a=-1时,R(A)=2<3,Ax=0有非零解,其同解方程组为=[*] 故Ax=0的通解为=[*] 其中k为任意常数. (Ⅱ)β
1
,β
2
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示 [*]矩阵方程(α
1
,α
2
,α
3
)X=(β
1
,β
2
)有解 [*]R(α
1
,α
2
,α
3
)=R(α
1
,α
2
,α
3
[*]β
1
,β
2
). 对(α
1
,α
2
,α
3
[*]β
1
,β
2
)实施初等行变换,得[*] 当b=-1时,R(α
1
,α
2
,α
3
)=R(α
1
,α
2
,α
3
[*]β
1
,β
2
),β
1
,β
2
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. 当a≠-1时,R(α
1
,α
2
,α
3
)=R(α
1
,α
2
,α
3
[*],β
1
,β
2
)=3, [*] 此时,β
1
=α
1
+α
2
,β
2
=α
1
+2α
2
; 当a=-1时,R(α
1
,α
2
,α
3
)=R(α
1
,α
2
,α
3
[*]β
1
,β
2
)=2, 此时,β
1
=(1-ι
1
)α
1
+(1-ι
1
)α
2
+ι
1
α
3
,其中ι
1
为任意常数, β
2
=(1-ι
2
)α
1
+(2-ι
2
)α
2
+ι
2
α
3
,其中ι
2
为任意常数.
解析
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考研数学三
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