2. 考研
  3. 设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

admin2019-03-19  61
问题 设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．
选项
答案1 记A=(α1，α2，α3，α4)，则 [*] =(a+10)a3 于是当a=0或a=－10时，α1，α2，a3，α4线性相关． 当a=0时，α1≠0，且α2，α3，α4均可由α1线性表出，故α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1． 当a=－10时，对A施以初等行变换，有 [*] =(β1，β2，β3，β4) 由于β2，β3，β4为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β1=－β2－β3－β4，故α2，α3，α4为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α1=－α2－α3－α4． 2 记A=(α1，α2，α3，α4)，对A施以初等行变换，有 [*] 当a=0时，A的秩为1，因而α1，α2，α3，α4线性相关，此时α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1． 当a≠0时，再对B施以初等行变换，有 [*] =C=(γ1，γ2，γ3，γ4) 如果a≠－10，C的秩为4，从而A的秩为4，故α1，α2，α3，α4线性无关． 如果a=－10，C的秩为3，从而A的秩为3，故α1，α2，α3，α4线性相关． 由于γ2，γ3，γ4为γ1，γ2，γ3，γ4的一个极大线性无关组，且γ1=－γ2－γ3－γ4．于是α2，α3，α4为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α1=－α2－α3－α4．
解析
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考研数学三

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