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设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
admin
2019-03-19
93
问题
设4维向量组α
1
=(1+a,1,1,1)
T
,α
2
=(2,2+a,2,2)
T
,α
3
=(3,3,3+a,3)
T
,α
4
=(4,4,4,4+a)
T
,问a为何值时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关?当α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
选项
答案
1 记A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),则 [*] =(a+10)a
3
于是当a=0或a=-10时,α
1
,α
2
,a
3
,α
4
线性相关. 当a=0时,α
1
≠0,且α
2
,α
3
,α
4
均可由α
1
线性表出,故α
1
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当a=-10时,对A施以初等行变换,有 [*] =(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
) 由于β
2
,β
3
,β
4
为β
1
,β
2
,β
3
,β
4
的一个极大线性无关组,且β
1
=-β
2
-β
3
-β
4
,故α
2
,α
3
,α
4
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
1
=-α
2
-α
3
-α
4
. 2 记A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),对A施以初等行变换,有 [*] 当a=0时,A的秩为1,因而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,此时α
1
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当a≠0时,再对B施以初等行变换,有 [*] =C=(γ
1
,γ
2
,γ
3
,γ
4
) 如果a≠-10,C的秩为4,从而A的秩为4,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关. 如果a=-10,C的秩为3,从而A的秩为3,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 由于γ
2
,γ
3
,γ
4
为γ
1
,γ
2
,γ
3
,γ
4
的一个极大线性无关组,且γ
1
=-γ
2
-γ
3
-γ
4
.于是α
2
,α
3
,α
4
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
1
=-α
2
-α
3
-α
4
.
解析
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考研数学三
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