设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向

admin2019-03-19  43

问题 设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

选项

答案1 记A=(α1,α2,α3,α4),则 [*] =(a+10)a3 于是当a=0或a=-10时,α1,α2,a3,α4线性相关. 当a=0时,α1≠0,且α2,α3,α4均可由α1线性表出,故α1为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α2=2α1,α3=3α1,α4=4α1. 当a=-10时,对A施以初等行变换,有 [*] =(β1,β2,β3,β4) 由于β2,β3,β4为β1,β2,β3,β4的一个极大线性无关组,且β1=-β2-β3-β4,故α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α1=-α2-α3-α4. 2 记A=(α1,α2,α3,α4),对A施以初等行变换,有 [*] 当a=0时,A的秩为1,因而α1,α2,α3,α4线性相关,此时α1为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α2=2α1,α3=3α1,α4=4α1. 当a≠0时,再对B施以初等行变换,有 [*] =C=(γ1,γ2,γ3,γ4) 如果a≠-10,C的秩为4,从而A的秩为4,故α1,α2,α3,α4线性无关. 如果a=-10,C的秩为3,从而A的秩为3,故α1,α2,α3,α4线性相关. 由于γ2,γ3,γ4为γ1,γ2,γ3,γ4的一个极大线性无关组,且γ1=-γ2-γ3-γ4.于是α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α1=-α2-α3-α4

解析
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