2. 考研
  3. 设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

admin2019-03-19  46
问题 设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
选项
答案证 设有一组数k0，k1…，kt．使得 k0β+k1(β+α1)+…+kt(β+α1)=0即 (k0+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0 (*) 用矩阵A左乘(*)式两端并注意Aαi=0(i=1，…，t)，得 (k0+k1+…+kt)Aβ=0因为Aβ≠0，所以有 k0+k1+…+kt=0 (**)代入(*)式，得 k1α1+…+ktα1=0由于向量组α1，…，αt是方程组AX=0的基础解系，所以 k1=…=kt=0因而由(**)式得k0=0．因此，向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
解析 本题主要考查向量组线性无关的定义证明法及齐次方程组基础解系的概念．利用定义证明向量组线性无关，就是从向量组的线性组合等于零出发，由已知条件来推证线性组合的系数都为零，本题的推证关键是“用A左乘”这一变换．
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考研数学三

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