设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

admin2019-03-19 59

问题设向量α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α₁，…，β+α_t线性无关．

选项

答案证设有一组数k₀，k₁…，k_t．使得 k₀β+k₁(β+α₁)+…+k_t(β+α₁)=0即 (k₀+k₁+…+k_t)β+k₁α₁+…+k_tα_t=0 (*) 用矩阵A左乘(*)式两端并注意Aα_i=0(i=1，…，t)，得 (k₀+k₁+…+k_t)Aβ=0因为Aβ≠0，所以有 k₀+k₁+…+k_t=0 (**)代入(*)式，得 k₁α₁+…+k_tα₁=0由于向量组α₁，…，α_t是方程组AX=0的基础解系，所以 k₁=…=k_t=0因而由(**)式得k₀=0．因此，向量组β，β+α₁，…，β+α_t线性无关．

解析本题主要考查向量组线性无关的定义证明法及齐次方程组基础解系的概念．利用定义证明向量组线性无关，就是从向量组的线性组合等于零出发，由已知条件来推证线性组合的系数都为零，本题的推证关键是“用A左乘”这一变换．

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考研数学三

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设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明；向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．

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