设α1,α2,…,αs均为n维列向量,A为m×n矩阵,下列选项正确的是( )

admin2021-01-19  20

问题 设α1,α2,…,αs均为n维列向量,A为m×n矩阵,下列选项正确的是(    )

选项 A、若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关。
B、若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关。
C、若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关。
D、若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关。

答案A

解析 方法一:记B=(α1,α2,…,αs),则(Aα1,Aα2,…,Aαs)=AB。
若向量组α1,α2,…,αs线性相关,则r(B)<s,从而r(AB)≤r(B)<s,向量组Aα1,Aα2,…,Aαs也线性相关,故应选A。
方法二:若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为零的数是k1,k2,…,ks使得
k1α1+k2α2+…+ksαs=0。
用A左乘等式两边,得
k11+k22+…+kss=0,    (1)
于是存在不全为零的数k1,k2,…,ks使得(1)成立,所以Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关。
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