2. 考研
  3. 设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． 利用(1)的结果判断矩阵B－CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． 利用(1)的结果判断矩阵B－CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2019-12-26  117
问题 设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用(1)的结果判断矩阵B－CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
选项
答案【解法1】矩阵B－CTA－1是正定矩阵． 由(1)的结果可知，矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵． 因矩阵M为对称矩阵，故B－CTA－1C为对称矩阵．对x=(0，0，…，0)T及任意的y=(y1，y2，…，yn)T≠0，有 [*] 即yT(B－CTA－1C)y＞0，故B－CTA-1C为正定矩阵． 【解法2】由(1)的结果知，矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于零，于是B－CTA-1C的各阶顺序主子式也大于零．因矩阵M为对称矩阵，故B－CTA－1C为对称矩阵，故B－CTA－1C为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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