2. 考研
  3. 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)＝，X∈Rn，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)＝λn＝f(Xn)，minf(X)＝λ1＝f(X1)．

设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记 f(X)＝，X∈Rn，X≠0 证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)＝λn＝f(Xn)，minf(X)＝λ1＝f(X1)．

admin2019-01-05  57
问题 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1、λn的特征向量，记
    f(X)＝，X∈Rn，X≠0
    证明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)＝λn＝f(Xn)，minf(X)＝λ1＝f(X1)．
选项
答案存在正交变换X＝PY(P为正交矩阵，Y＝(y1，y2…，yn)T)，使得XTAX[*]λ1y12＋…＋λnyn2≤λn(y12＋…＋yn2)＝λn‖Y‖2＝λn‖X‖2＝λnXTX，当X≠0时，有XTX＞0，上面不等式两端同除XTX，得 [*] 故maxf(X)＝λn＝f(Xn)．类似可证minf(X)＝λ1＝f(X1)．
解析
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考研数学三

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