设A是2阶矩阵，有特征值λ1=1，λ2=2，B=A2一3A—E，则B=kE，其中k=_______．

admin2019-01-05 56

问题设A是2阶矩阵，有特征值λ₁=1，λ₂=2，B=A²一3A—E，则B=kE，其中k=_______．

选项

答案一3

解析因为A是2阶矩阵，有两个不同的特征值λ₁=1，λ₂=2，故存在可逆矩阵P，使得
P^-1AP=A=

，故A=PAP^-1．因此
kE=B=A²—3A—E=(PAP^-1)²一3PAP^-1一PP^-1

故k=-3．
或 kE=B=A²一3A—E=(A—E)(A一2E)-3E
=(PAP^-1一PP^-1)(PAP^-1—2PP^-1)一3E=P(A—E)(A一2E)P^-1-3E

故k=一3．

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