方程3xex+1=0在(一∞,+∞)内实根的个数为[ ].

admin2014-11-07  20

问题 方程3xex+1=0在(一∞,+∞)内实根的个数为[    ].

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案C

解析 设f(x)=3xex+1,则f’(x)=3ex+3xex=3(1+x)ex.令f’(x)=0,得x=-1.当x<-1时,f’(x)<0,当x>-1时f’(x)>0.由此可得f(x)在(一∞,-1)内单调递减,在(-1,+∞)内单调增加,x=-1是f(x)的唯一极小值点,因而是最小值点,最小值为f(-1)=-3e-1+1<0.
   
由函数的单调性和零点存在定理可判断f(x)在(一∞,-1)内和(-1,+∞)内各有一个零点,因此方程f(x)=0在(一∞,+∞)内恰有两个根.
    故选C.
    注    (1)
(2)对本题利用零点存在定理时,可用如下方法:,f(-1)<0,f(1)=3e+1>0,因此f(x)在(-3,-1)内和(-1,1)内至少各有一个零点.
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