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方程3xex+1=0在(一∞,+∞)内实根的个数为[ ].
方程3xex+1=0在(一∞,+∞)内实根的个数为[ ].
admin
2014-11-07
20
问题
方程3xe
x
+1=0在(一∞,+∞)内实根的个数为[ ].
选项
A、0
B、1
C、2
D、3
答案
C
解析
设f(x)=3xe
x
+1,则f’(x)=3e
x
+3xe
x
=3(1+x)e
x
.令f’(x)=0,得x=-1.当x<-1时,f’(x)<0,当x>-1时f’(x)>0.由此可得f(x)在(一∞,-1)内单调递减,在(-1,+∞)内单调增加,x=-1是f(x)的唯一极小值点,因而是最小值点,最小值为f(-1)=-3e
-1
+1<0.
由函数的单调性和零点存在定理可判断f(x)在(一∞,-1)内和(-1,+∞)内各有一个零点,因此方程f(x)=0在(一∞,+∞)内恰有两个根.
故选C.
注 (1)
(2)对本题利用零点存在定理时,可用如下方法:
,f(-1)<0,f(1)=3e+1>0,因此f(x)在(-3,-1)内和(-1,1)内至少各有一个零点.
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