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  3. 讨论函数f(x)=在(一∞，+∞)上的有界性．

讨论函数f(x)=在(一∞，+∞)上的有界性．

admin2020-03-05  17
问题 讨论函数f(x)=在(一∞，+∞)上的有界性．
选项
答案由f(一x)=[*]可知：f(－x)=f(x) ．所以，f(x)是偶函数．只需证明f(x)在[0，+∞)上有界．又[*]于是，对于[*]存在A>0，当x>A时，有[*]即当x>A时，有01．取M=max{1，M1}，则对[*]x∈[0，+∞)，有0≤f(x)≤M从而可知，对[*]x∈(一∞，+∞)，有0≤f(x)≤M．
解析 因为f(x)为偶函数，所以只需证明f(x)在[0，+∞)上有界．要证f(x)在[0，+∞)上有界，只要证明存在．
(1)要判断函数f(x)在(一∞，+∞)上的有界性，需考察f(x)在间断点x0及在无穷远点的极限．若存在，则f(x)在x0附近有界，若存在，则f(x)在x0的左邻域内有界，若存在，则f(x)在x0的右邻域内有界．若f(x)在(a，b)内连续，又均存在，则f(x)在(a，b)内有界．在闭区间上连续函数一定有界，但在开区间上不连续的函数也可能有界．例如：

f(x)在x=0处不连续，但f(x)在(一1，1)内有界．
(2)在本题的证明中取(或取其他一个确定的正数)是非常必要的．如果用来证明f(x)在[A，+∞)上有界就是错误的，因为此时的“界”不确定．
(3)用变量替换可证明f(x)与其原函数的奇偶性有着密切的联系：若f(x)连续，则
    1)为奇(偶)函数<=>f(x)为偶(奇)函数．
    2)为偶函数<=>f(x)为奇函数．
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