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讨论函数f(x)=在(一∞,+∞)上的有界性.
讨论函数f(x)=在(一∞,+∞)上的有界性.
admin
2020-03-05
10
问题
讨论函数f(x)=
在(一∞,+∞)上的有界性.
选项
答案
由f(一x)=[*]可知:f(-x)=f(x) .所以,f(x)是偶函数.只需证明f(x)在[0,+∞)上有界.又[*]于是,对于[*]存在A>0,当x>A时,有[*]即当x>A时,有0
1.取M=max{1,M
1
},则对[*]x∈[0,+∞),有0≤f(x)≤M从而可知,对[*]x∈(一∞,+∞),有0≤f(x)≤M.
解析
因为f(x)为偶函数,所以只需证明f(x)在[0,+∞)上有界.要证f(x)在[0,+∞)上有界,只要证明
存在.
(1)要判断函数f(x)在(一∞,+∞)上的有界性,需考察f(x)在间断点x
0
及在无穷远点的极限.若
存在,则f(x)在x
0
附近有界,若
存在,则f(x)在x
0
的左邻域内有界,若
存在,则f(x)在x
0
的右邻域内有界.若f(x)在(a,b)内连续,又
均存在,则f(x)在(a,b)内有界.在闭区间上连续函数一定有界,但在开区间上不连续的函数也可能有界.例如:
f(x)在x=0处不连续,但f(x)在(一1,1)内有界.
(2)在本题的证明中取
(或取其他一个确定的正数)是非常必要的.如果用
来证明f(x)在[A,+∞)上有界就是错误的,因为此时的“界”不确定.
(3)用变量替换可证明f(x)与其原函数
的奇偶性有着密切的联系:若f(x)连续,则
1)
为奇(偶)函数<=>f(x)为偶(奇)函数.
2)
为偶函数<=>f(x)为奇函数.
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考研数学一
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