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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明: 存在η∈(a,b),使得f″(η)-3f′(η)+2f(η)=0。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明: 存在η∈(a,b),使得f″(η)-3f′(η)+2f(η)=0。
admin
2019-09-27
22
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.
证明:
存在η∈(a,b),使得f″(η)-3f′(η)+2f(η)=0。
选项
答案
令g(x)=e
-x
f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0, 由罗尔定理,存在η
1
∈(a,c),η
2
∈(c,b),使得g′(η
1
)=g′(η
2
)=0, 而g′(x)=e
-x
[f′(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f′(η
1
)-f(η
1
)=0,f′(η
2
)-f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f′(x)-f(x)],φ(η
1
)=φ(η
2
)=0, 由罗尔定理,存在η∈(η
1
,η
2
)[*](a,b),使得φ′(η)=0, 而φ′(x)=e
-2x
[ f″(x)-3f′(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0, 所以f″(η)-3f′(η)+2f(η)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dnS4777K
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考研数学一
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