2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0． 证明： 存在η∈(a，b)，使得f″(η)－3f′(η)+2f(η)=0。

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0． 证明： 存在η∈(a，b)，使得f″(η)－3f′(η)+2f(η)=0。

admin2019-09-27  24
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．
证明：
存在η∈(a，b)，使得f″(η)－3f′(η)+2f(η)=0。
选项
答案令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g′(η1)=g′(η2)=0， 而g′(x)=e－x[f′(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f′(η1)－f(η1)=0，f′(η2)－f(η2)=0． 令φ(x)=e－2x[f′(x)－f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0， 由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)[*](a，b)，使得φ′(η)=0， 而φ′(x)=e－2x[ f″(x)－3f′(x)+2f(x)]且e－2x≠0， 所以f″(η)－3f′(η)+2f(η)=0．
解析
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考研数学一

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