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  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(x﹢t)﹦，已知f(2)﹦1。求积分∫12f(x)dx的值。

设f(x)连续，且∫0xtf(x﹢t)﹦，已知f(2)﹦1。求积分∫12f(x)dx的值。

admin2019-01-22  30
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(x﹢t)﹦，已知f(2)﹦1。求积分∫12f(x)dx的值。
选项
答案令u﹦x﹢t，则t﹦u－x，dt﹦du，根据换元积分法， ∫1xtf(x﹢t)dt﹦∫x2x(u－x)f(u)du﹦∫x2xuf(u)du－x∫x2xf(u)du﹦[*] 在等式∫x2xuf(u)du－x∫x2xf(u)du﹦[*]两端同时对x求导可得 2xf(2x)×2－xf(x)－∫x2xf(u)du－x[2f(2x)－f(x)]﹦[*] 移项合并得 ∫x2xf(u)du﹦2xf(2x)﹢[*] 在上式中，令x﹦1，结合f(2)﹦1，可得∫12f(u)du﹦2×1﹢(2﹢2)﹦6。 本题考查换元法化简积分，其中涉及变限积分求导。首先容易观察到令u﹦x﹢t时，则已知积分的上、下限变为x和2x。结合变限积分化简已知积分，将其变形为关于x的函数∫x2xf(t)dt的表达式，令x﹦1，即可得出最终积分。
解析
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考研数学一

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