设f(x)连续，且∫0xtf(x﹢t)﹦，已知f(2)﹦1。求积分∫12f(x)dx的值。

admin2019-01-22 71

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(x﹢t)﹦

，已知f(2)﹦1。求积分∫₁²f(x)dx的值。

选项

答案令u﹦x﹢t，则t﹦u－x，dt﹦du，根据换元积分法， ∫₁^xtf(x﹢t)dt﹦∫_x^2x(u－x)f(u)du﹦∫_x^2xuf(u)du－x∫_x^2xf(u)du﹦[*] 在等式∫_x^2xuf(u)du－x∫_x^2xf(u)du﹦[*]两端同时对x求导可得 2xf(2x)×2－xf(x)－∫_x^2xf(u)du－x[2f(2x)－f(x)]﹦[*] 移项合并得 ∫_x^2xf(u)du﹦2xf(2x)﹢[*] 在上式中，令x﹦1，结合f(2)﹦1，可得∫₁²f(u)du﹦2×1﹢(2﹢2)﹦6。本题考查换元法化简积分，其中涉及变限积分求导。首先容易观察到令u﹦x﹢t时，则已知积分的上、下限变为x和2x。结合变限积分化简已知积分，将其变形为关于x的函数∫_x^2xf(t)dt的表达式，令x﹦1，即可得出最终积分。

解析

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考研数学一

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考研数学一

设有某种零件共100个，其中10个是次品，其余为合格品．现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为______。

设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为(I)求X与Y的相关系数；(Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．

设X～N(μ，σ2)，从中抽取16个样本，S2为样本方差，μ，σ2未知，求．

设A是n阶实反对称矩阵，x，y是实n维列向量，满足Ax=y，证明x与y正交.

设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)＝0在x＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(x)在x＝a处取得极值＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0，f’x(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，

设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D＝{(x，y)｜x2＋y2≤1}上服从均匀分布．(I)问X与y是否相互独立；(Ⅱ)求X与Y的相关系数．

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4，求a，b的值和正交矩阵P.

设a1=1，当n≥1时，an＋1=，证明：数列｛an｝收敛并求其极限．

微分方程y’一xe－y+=0的通解为_________．

设线性方程组则当λ为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解．

市场经济实质上是（　　　）

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