设y＝y(x)有一阶连续导数，y(0)＝1，且满足求y＝y(x)；

admin2022-06-09 43

问题设y＝y(x)有一阶连续导数，y(0)＝1，且满足

求y＝y(x)；

选项

答案由于 ∫₀¹y(xu)du[*]y(t)1/xdt＝1/x∫₀^xy(t)dt 故原方程可化为 y’(x)＋3∫₀^xy’(t)dt＋2∫₀^x (t)dt＋e^-1＝0 ① 式①两边同时对x求导，得 y’’(x)＋3y’(x)＋2y(x)＝e^-x ② 且y(0)＝1，y’(0)＝－1 又由于特征方程为r²＋3r＋2＝0，解得r₁＝－1，r₂＝－2，令特解为y^*＝Axe^-x，代入式②可得A＝1，故式②的通解为 y(x)＝C₁e^-x＋C₂e^-2x＋xe^-x 由y(0)＝1，y’(0)＝－1，得C₁＝0，C₂＝1，所以y＝y(x)＝e^-2x＋xe^-x

解析

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