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求微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x。满足条件y(0)=0,y’(0)=0的特解y=y(x),并求y=y(x)的单调区间与极值.
求微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e-x。满足条件y(0)=0,y’(0)=0的特解y=y(x),并求y=y(x)的单调区间与极值.
admin
2020-10-21
55
问题
求微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e
-x
。满足条件y(0)=0,y’(0)=0的特解y=y(x),并求y=y(x)的单调区间与极值.
选项
答案
(1)求齐次线性微分方程2y"+y’一y=0的通解. 齐次微分方程2y"+y’一y=0的特征方程为2r
2
+r—1=0,特征根为r
1
=一1,r
2
=[*], 故齐次线性微分方程的通解为 [*] (2)求非齐次线性微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e
-x
的一个特解. 由于λ=一1是特征单根,故设其特解为y
*
=x(Ax+B)e
-x
,则 (y
*
)’=(2Ax+B)e
-x
一(Ax
2
+Bx)e
-x
. (y
*
)"=2Ae
-x
一2(2Ax+B)e
-x
+(Ax
2
+Bx)e
-x
. 将它们代入方程2y"+y’一y=(4—6x)e
-x
,得 —6Ax+(4A一3B)=一6x+4, 比较等式两边x同次幂的系数,得 [*] 所以y
*
=x
2
e
-x
. (3)非齐次线性微分方程2y"+y’一y=(4—6x)e
-x
的通解为 [*] (4)求微分方程2y"+y’—y=(4—6x)e
-x
满足条件y(0)=0,y’(0)=0的特解. [*] 由y(0)=0,y’(0)=0,得 [*] 故yY=x
2
e
-x
. 求y=x
2
e
-x
的单调区间与极值. y’=x(2一x)e
-x
,令y’=0,得驻点x
1
=0,x
2
=2,列表如下: [*] 故y=x
2
e
-x
的单调增区间为[0,2],单调减区间为(一∞,0],[2,+∞),极小值为y(0)=0, 极大值为y(2)=4e
2
.
解析
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