利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx－2y′sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．

admin2019-01-23 45

问题利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx－2y′sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解．

选项

答案令ycosx=u，则y=usecx，从而 y′=u′secx+usecxtanx． y″=u″secx+2u′secxtanx+usecxtan²x+usec³x．代入原方程，则得u″+4u=e^x．这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为 u=[*]e^x+C₁cos2x+C₂sin2x．代回到原未知函数，则有y=[*]+2C₂sinx，其中C₁，C₂是两个任意常数．

解析这是一个二阶变系数线性非齐次微分方程，不属于我们能够求解的范围，而如果能使其变为常系数方程就可求解了．从方程的形式看，令ycosx=u应该是自然的．

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