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利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx-2y′sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解.
利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx-2y′sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解.
admin
2019-01-23
20
问题
利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx-2y′sinx+3ycosx=e
x
化简,并求出原方程的通解.
选项
答案
令ycosx=u,则y=usecx,从而 y′=u′secx+usecxtanx. y″=u″secx+2u′secxtanx+usecxtan
2
x+usec
3
x. 代入原方程,则得u″+4u=e
x
.这是一个二阶常系数线性非齐次方程,其通解为 u=[*]e
x
+C
1
cos2x+C
2
sin2x. 代回到原未知函数,则有y=[*]+2C
2
sinx,其中C
1
,C
2
是两个任意常数.
解析
这是一个二阶变系数线性非齐次微分方程,不属于我们能够求解的范围,而如果能使其变为常系数方程就可求解了.从方程的形式看,令ycosx=u应该是自然的.
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考研数学一
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