利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx-2y′sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解.

admin2019-01-23  28

问题 利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx-2y′sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解.

选项

答案令ycosx=u,则y=usecx,从而 y′=u′secx+usecxtanx. y″=u″secx+2u′secxtanx+usecxtan2x+usec3x. 代入原方程,则得u″+4u=ex.这是一个二阶常系数线性非齐次方程,其通解为 u=[*]ex+C1cos2x+C2sin2x. 代回到原未知函数,则有y=[*]+2C2sinx,其中C1,C2是两个任意常数.

解析 这是一个二阶变系数线性非齐次微分方程,不属于我们能够求解的范围,而如果能使其变为常系数方程就可求解了.从方程的形式看,令ycosx=u应该是自然的.
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