设A=I一ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明: (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1; (2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.

admin2017-08-28  51

问题 设A=I一ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明:
    (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1;
    (2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.

选项

答案(1)A2=(I一ξξT)(I一ξξT)=I一2ξξT+ξξTξξT =I一2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=I一2ξξT+(ξTξ)ξξT =I一(2一ξTξ)ξξT A2=A即I一(2一ξTξ)ξξT=I一ξξT,亦即 (ξTξ一1)ξξT=O 因为ξ是非零列向量,有ξξT≠0 故A2=A的充要条件是ξTξ一1=0,即ξTξ=1. (2)用反证法.当ξTξ=1时A2=A,若A可逆,则有 A—1A2=A—1A 即A=I,这与已知的A=I一ξξT≠I矛盾,故A是不可逆矩阵.

解析 本题(1)主要考查矩阵乘法及其运算规律,用到了分配律、结合律及关于数乘的结合律.要注意分析乘积矩阵是哪一型矩阵.这里ξTξ是一个1阶方阵,即一个数,因此可把它从矩阵乘积中提出来,这是本题化简推证的关键.本题(2)考察可逆矩阵的概念,条件为ξTξ=1,自然应该联想并应用(1)的结论,并利用反证法(最易),因为当假定A可逆时,就可以用A—1进行运算.
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