2. 考研
  3. 设A=I一ξξT，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1； (2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

设A=I一ξξT，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1； (2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

admin2017-08-28  71
问题 设A=I一ξξT，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：
    (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1；
    (2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．
选项
答案(1)A2=(I一ξξT)(I一ξξT)=I一2ξξT+ξξTξξT =I一2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=I一2ξξT+(ξTξ)ξξT =I一(2一ξTξ)ξξT A2=A即I一(2一ξTξ)ξξT=I一ξξT，亦即 (ξTξ一1)ξξT=O 因为ξ是非零列向量，有ξξT≠0 故A2=A的充要条件是ξTξ一1=0，即ξTξ=1． (2)用反证法．当ξTξ=1时A2=A，若A可逆，则有 A—1A2=A—1A 即A=I，这与已知的A=I一ξξT≠I矛盾，故A是不可逆矩阵．
解析 本题(1)主要考查矩阵乘法及其运算规律，用到了分配律、结合律及关于数乘的结合律．要注意分析乘积矩阵是哪一型矩阵．这里ξTξ是一个1阶方阵，即一个数，因此可把它从矩阵乘积中提出来，这是本题化简推证的关键．本题(2)考察可逆矩阵的概念，条件为ξTξ=1，自然应该联想并应用(1)的结论，并利用反证法(最易)，因为当假定A可逆时，就可以用A—1进行运算．
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考研数学一

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