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设A=I一ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明: (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1; (2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
设A=I一ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明: (1)A2=A的充要条件是ξTξ=1; (2)当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
admin
2017-08-28
80
问题
设A=I一ξξ
T
,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξ
T
是ξ的转置.证明:
(1)A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ=1;
(2)当ξ
T
ξ=1时,A是不可逆矩阵.
选项
答案
(1)A
2
=(I一ξξ
T
)(I一ξξ
T
)=I一2ξξ
T
+ξξ
T
ξξ
T
=I一2ξξ
T
+ξ(ξ
T
ξ)ξ
T
=I一2ξξ
T
+(ξ
T
ξ)ξξ
T
=I一(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
A
2
=A即I一(2一ξ
T
ξ)ξξ
T
=I一ξξ
T
,亦即 (ξ
T
ξ一1)ξξ
T
=O 因为ξ是非零列向量,有ξξ
T
≠0 故A
2
=A的充要条件是ξ
T
ξ一1=0,即ξ
T
ξ=1. (2)用反证法.当ξ
T
ξ=1时A
2
=A,若A可逆,则有 A
—1
A
2
=A
—1
A 即A=I,这与已知的A=I一ξξ
T
≠I矛盾,故A是不可逆矩阵.
解析
本题(1)主要考查矩阵乘法及其运算规律,用到了分配律、结合律及关于数乘的结合律.要注意分析乘积矩阵是哪一型矩阵.这里ξ
T
ξ是一个1阶方阵,即一个数,因此可把它从矩阵乘积中提出来,这是本题化简推证的关键.本题(2)考察可逆矩阵的概念,条件为ξ
T
ξ=1,自然应该联想并应用(1)的结论,并利用反证法(最易),因为当假定A可逆时,就可以用A
—1
进行运算.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/T1r4777K
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考研数学一
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